Confinement autour d’un point vortex stationnaire dans les domaines bornés de R^2.

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Stage de M2 de l’ENS de Lyon, encadré par encadré par Dragos, Iftimie, Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1.

 

Résumé

Dans ce mémoire, nous nous intéressons au problème de confinement de la vorticité dans des domaines bornés, dans le cadre des équations d’Euler bi-dimensionnelles incompressibles. L’objectif est d’étendre les résultats précédemment obtenus par Marchioro et Buttà dans [BM18] pour le disque, aux cas des domaines bornés avec un seul vortex placé à un point où sa propre influence à travers le bord est nulle. Le mémoire présente d’abord une introduction au système point vortex et sa dynamique dans les domaines bornés, puis présente un résultat original et en dresse la preuve complète.

 

Références

[BM18] P. Buttà et C. Marchioro : Long time evolution of concentrated euler flows with planar symmetry. SIAM J. Math. Anal. 50, pp. 735-760., 2018.

[Gus79] B. Gustafsson : On the Motion of a Vortex in Two-dimensional Flow of an Ideal Fluid in Simply and Multiply Connected Domains. Trita-MAT. ?, 1979.

[Ift04] Dragos, Iftimie : Large time behavior in perfect incompressible flows. , Lanzhou (Chine), pp.73, 2004.

[MP93a] C. Marchioro et M. Pulvirenti : Mathematical Theory of Incompressible Nonviscous Fluids. Applied Mathematical Sciences. Springer New York, 1993.

[MP93b] Carlo Marchioro et Mario Pulvirenti : Vortices and localization in euler flows. Comm. Math. Phys., 154(1):49–61, 1993.

On inviscid damping in Euler’s 2d equations

This paper is based on [GV14], which is a review for the Séminaire Bourbaki of [BM13].
The subject is the mathematical stability of the Couette shearing profile in the context of the
two dimensional Euler’s equation for an inviscid and incompressible fluid in the class of Gevrey
functions.
References
[BM13] J. Bedrossian and N. Masmoudi. Inviscid damping and the asymptotic stability of planar
shear flows in the 2D Euler equations.
ArXiv e-prints
, June 2013.
[BMM13] J. Bedrossian, N. Masmoudi, and C. Mouhot. Landau damping: paraproducts and Gevrey
regularity.
ArXiv e-prints
, November 2013.
[GV14] D. Gérard-Varet. Phénomène d’amortissement dans les équations d’euler.
Séminaire Bour-
baki
, 2014.
[MV11] Clément Mouhot and Cédric Villani. On landau damping.
Acta Math.
, 207(1):29–201, 2011.

Théorème de Lévy-Cramér

Article écrit pour le Journal de Mathématiques des Élèves de l’ENS Lyon.

Abstract
L’objectif de cet article va être de donner la démonstration complète du
théorème suivant, dit de Lévy-Cramér :
Dans un espace probabilisé, si la somme de deux variables indépendantes suit une loi normale, alors chacune des variables aléatoires suit une loi normale.

Bien entendu, pour que ce résultat soit vrai, nous considérerons ici les variables de variance nulle comme des lois normales. Cette preuve est issue de : W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, volume 2. Wiley, 1971, mais nous nous attacherons ici à donner le maximum de détail. Nous commencerons par établir quelques résultats d’analyse complexe élémentaires qui serviront à étudier les propriétés des fonctions caractéristiques des variables aléatoires.

Mouvement brownien, calcul d’Itô, et équations paraboliques

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Rapport de Stage de M1 de 8 semaines, encadré par Graham Carl, (Ecole Polytechnique, CNRS), au Centre de Mathématiques Appliquées de l’école polytechnique (CMAP).


Abstract

L’objectif de cette étude est de dresser un lien entre des solutions d’équations différentielles stochastiques et des solutions d’équations aux dérivées partielles paraboliques. Pour cela, nous introduirons le mouvement brownien et plus généralement les outils probabilistes pour décrire les processus stochastiques. Une fois la formule d’Itô établie, nous pourrons démontrer le théorème fondamental liant les deux types d’équations étudiées. Enfin, nous nous intéresserons à des applications, en particulier la diffusion de Wright Fisher, pour comprendre comment ce lien peut être exploité. Le rapport commence par une étude historique du mouvement brownien, afin d’en retracer une génèse fidèle.

 

Théorème Central Limite, stabilité et principe de Lindeberg

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Stage de L3 de l’ENS de Lyon, encadré par Julien Poisat et Emeric Bouin (CEREMADE, Paris Dauphine)


Abstract

Le principe de Lindeberg, méthode issue de l’article est à l’origine une méthode pour démontrer le théorème Central Limite, sans avoir recours aux outils dérivant de l’analyse de Fourier. Il faudra donc étudier des convergences du type:  E(f(S_n)) \rightarrow E(f(Y)) \displaystyle S_n= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n X_k est la somme qui nous intéresse dans ce théorème, dont on spécifiera tout au long de ce rapport les hypothèses plus précisément, et
\displaystyle Y = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n Y_k suit une loi normale centrée réduite que l’on peut écrire comme somme de lois normales centrées réduites indépendantes par stabilité de la loi normale.

Posons Z_i=(X_1,\ldots,X_i,Y_{i+1},\ldots,Y_n) , Z_n = X

Ainsi, l’on a:
\displaystyle|E(f(X)) - E(f(Y)) | = \left| \sum_{i=1}^n E\left(f\left(\frac{Z_i}{\sqrt{n}}\right)-f\left(\frac{Z_{i-1}}{\sqrt{n}}\right)\right) \right|.
L’idée principale sera donc, par un développement de Taylor, de contrôler l’erreur  E\left(f\left(\frac{Z_i}{\sqrt{n}}\right)-f\left(\frac{Z_{i-1}}{\sqrt{n}}\right)\right).
Cette méthode s’étend remarquablement bien à des théorèmes de convergence beaucoup plus forts que le théorème Central Limite, et avec des hypothèses moins restrictives que, notamment, l’identique distribution des variables. En particulier, nous verrons une majoration de la quantité  |E(g(f((X_1,\ldots,X_n))) - E(g(f((Y_1,\ldots,Y_n))) | , qui permet d’étendre les résultats de convergence à bien plus que seulement des sommes de variables aléatoires.

Enfin, nous étudierons également dans ce rapport les différentes lois possibles comme limites de suites de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées